پاسخ کاردرکلاس و فعالیت صفحه 80 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 80 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این تمرین بر دو نوع سهمی و پیدا کردن **رأس** آن‌ها از روی معادله تمرکز دارد. رأس سهمی نقطه‌ی کلیدی برای رسم نمودار است. ### **الف) $\mathbf{y = (x + 1)^2 - 2}$** **۱. مشخص کردن رأس:** این معادله به فرم استاندارد رأس **$\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$** است که مختصات رأس آن $\mathbf{(h, k)}$ است. * $\mathbf{a = 1}$ (مثبت، پس سهمی **رو به بالا** باز می‌شود.) * $\mathbf{h = -1}$ (چون $x + 1 = x - (-1)$) * $\mathbf{k = -2}$ $$\text{رأس سهمی: } \mathbf{V(-1, -2)}$$ **۲. رسم نمودار:** برای رسم دقیق‌تر، چند نقطه‌ی دیگر (متقارن نسبت به محور $\mathbf{x = -1}$) را پیدا می‌کنیم: | $\mathbf{x}$ | $y = (x+1)^2 - 2$ | $\mathbf{(x, y)}$ | | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{-1}$ (رأس) | $0 - 2 = -2$ | $\mathbf{(-1, -2)}$ | | $\mathbf{0}$ | $(0+1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$ | $\mathbf{(0, -1)}$ | | $\mathbf{-2}$ | $(-2+1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$ | $\mathbf{(-2, -1)}$ | | $\mathbf{1}$ | $(1+1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ | $\mathbf{(1, 2)}$ | | $\mathbf{-3}$ | $(-3+1)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ | $\mathbf{(-3, 2)}$ | (نمودار سهمی رو به بالا، با رأس در $(-1, -2)$ رسم می‌شود.) --- ### **ب) $\mathbf{y = -2x^2 + 1}$** **۱. مشخص کردن رأس:** این معادله به فرم $y = ax^2 + c$ است که حالت ساده‌شده‌ی فرم رأس است. در این حالت، $h = 0$ است. * $\mathbf{a = -2}$ (منفی، پس سهمی **رو به پایین** باز می‌شود.) * $\mathbf{h = 0}$ * $\mathbf{k = 1}$ $$\text{رأس سهمی: } \mathbf{V(0, 1)} \quad \text{(روی محور } y \text{ها)}$$ **۲. رسم نمودار:** سهمی نسبت به محور $\mathbf{x = 0}$ (محور $y$ها) متقارن است. | $\mathbf{x}$ | $y = -2x^2 + 1$ | $\mathbf{(x, y)}$ | | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{0}$ (رأس) | $0 + 1 = 1$ | $\mathbf{(0, 1)}$ | | $\mathbf{1}$ | $-2(1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1$ | $\mathbf{(1, -1)}$ | | $\mathbf{-1}$ | $-2(-1)^2 + 1 = -2 + 1 = -1$ | $\mathbf{(-1, -1)}$ | | $\mathbf{2}$ | $-2(4) + 1 = -8 + 1 = -7$ | $\mathbf{(2, -7)}$ | | $\mathbf{-2}$ | $-2(4) + 1 = -8 + 1 = -7$ | $\mathbf{(-2, -7)}$ | (نمودار سهمی رو به پایین، با رأس در $(0, 1)$ رسم می‌شود.)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 80 ریاضی دهم - بخش الف این فعالیت یک **اثبات رسمی** برای **فرمول رأس سهمی** است که با استفاده از روش **مربع کامل کردن** صورت می‌گیرد. این فرمول برای هر تابع درجه دومی که به صورت $\mathbf{y = ax^2 + bx + c}$ باشد، کار می‌کند. ### **اثبات با روش مربع کامل کردن** **هدف:** تبدیل $y = ax^2 + bx + c$ به فرم $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$ **گام ۱: فاکتورگیری از $\mathbf{a}$** ابتدا از $a$ در دو جمله‌ی اول فاکتور می‌گیریم (به شرط $\mathbf{a \ne 0}$): $$y = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c$$ **گام ۲: مربع کامل کردن جملات داخل پرانتز** برای مربع کامل کردن $x^2 + \frac{b}{a}x$، باید مربع نصف ضریب $x$ را اضافه و کم کنیم. نصف ضریب $x$ برابر است با: $\frac{1}{2} \times \frac{b}{a} = \frac{b}{2a}$. **عدد لازم:** $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ $$y = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$$ **گام ۳: تشکیل اتحاد مربع کامل** سه جمله‌ی اول داخل پرانتز، یک مربع کامل هستند: $$y = a \left[ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \right] + c$$ **گام ۴: ضرب $\mathbf{a}$ و ساده‌سازی** $a$ را در جملات پرانتز بزرگ ضرب می‌کنیم: $$y = a \left( x + \frac{b}{2a} ight)^2 - a \left( \frac{b^2}{4a^2} \right) + c$$ $$y = a \left( x + \frac{b}{2a} ight)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$ **گام ۵: مخرج مشترک گرفتن برای جملات ثابت** برای جمع کردن $-\frac{b^2}{4a}$ و $c$، مخرج مشترک $4a$ می‌گیریم: $$y = a \left( x + \frac{b}{2a} ight)^2 + \frac{-b^2 + 4ac}{4a}$$ **نتیجه نهایی (بازنویسی شده):** $$y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$$ $$\text{درستی تساوی } \mathbf{\text{اثبات شد.}} $$

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 80 ریاضی دهم - بخش ب با استفاده از نتیجه‌ی اثبات در بخش الف، اکنون می‌توانیم مختصات **رأس سهمی** و **محور تقارن** آن را استخراج کنیم. ### **مقایسه با فرم رأس استاندارد** ما معادله‌ی $y = ax^2 + bx + c$ را به فرم زیر تبدیل کردیم: $$\mathbf{y = a\left(x - \left(-\frac{b}{2a}\right)\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}}$$ فرمول کلی رأس سهمی به صورت $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$ است، که در آن: * $\mathbf{h}$ (مختصات $x$ رأس) برابر است با $x$ که باعث صفر شدن عبارت $(x - h)$ می‌شود. * $\mathbf{k}$ (مختصات $y$ رأس) برابر با مقدار ثابت خارج از مربع است. ### **استخراج رأس سهمی** **۱. مختصات $\mathbf{x}$ رأس (خط تقارن):** مقدار $x$ که باعث می‌شود عبارت داخل پرانتز صفر شود، مختصات $x$ رأس است. $$x + \frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow \mathbf{x = -\frac{b}{2a}}$$ **۲. مختصات $\mathbf{y}$ رأس:** وقتی $x$ برابر $-b/2a$ باشد، عبارت داخل پرانتز صفر می‌شود و مقدار $y$ به حداقل (یا حداکثر) می‌رسد (بسته به علامت $a$): $$\mathbf{y_{\text{رأس}} = \frac{4ac - b^2}{4a}}$$ ### **نتیجه‌گیری** $$\text{رأس سهمی: } \mathbf{\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)}$$ $$\text{خط تقارن: } \mathbf{x = -\frac{b}{2a}}$$ **توضیح:** از آنجایی که $\Delta = b^2 - 4ac$ است، مختصات $y$ رأس را می‌توان به صورت $\mathbf{y_{\text{رأس}} = -\frac{\Delta}{4a}}$ نیز نوشت. این دو فرمول ابزارهای کلیدی برای تحلیل نمودارهای درجه دوم هستند.